Фамилия Карьякина — женская форма фамилии Карьякин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса, который сразу выдаёт географию. Суффикс -ин указывает на севернорусское или восточное происхождение: такие фамилии чаще всего встречались в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях, а также в Сибири. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые преобладали в центральных и южных областях, Карьякины — потомки людей из регионов, где притяжательная форма на -ин была нормой.

Основа фамилии — Карьяка. Это прозвище, и его значение неочевидно. Вероятнее всего, оно происходит от диалектного слова «каряка» (или «коряка») — в русских говорах так называли кривое, искривлённое дерево, корягу, а также человека с искривлённой походкой или осанкой, «корявого» в прямом смысле. В этом случае прозвище давалось по внешнему признаку. Менее вероятная, но допустимая версия — связь с глаголом «карячить» (разводить ноги в стороны, упираться) или с тюркским корнем «кара» (чёрный) через форму «каряк», но для фамилии на -ин такая основа нетипична: тюркские прозвища чаще адаптировались через -ов.

Обратите внимание на написание: в фамилии стоит «а» после «р», а не «о» (Карьякина, а не Корьякина). Это не ошибка — в северных говорах «оканье» и «аканье» смешивались, и закрепление «а» в письменной форме могло произойти при переписи населения или в документах XVII–XVIII веков. Встречается и вариант Корякин — он более распространён и связан с тем же корнем «коряга», но Карьякин — более редкая, фонетическая разновидность, сохранившая местный говор.

Сословно фамилия не элитарная: Карьякины — почти наверняка крестьяне или посадские люди. В ревизских сказках XIX века носители фамилии фиксировались в основном в Вятской и Пермской губерниях, что подтверждает северный след. Если ваш предок — Карьякин, он мог быть плотником, лесорубом или просто человеком с характерной осанкой, за которую и получил прозвище. Никаких дворянских родов с такой фамилией не известно — это «народная» фамилия, образованная от бытового слова.