Фамилия Кашей — редкий случай, когда основа почти не оставляет сомнений, а вот суффикс заставляет задуматься. Если отбросить окончание, корень здесь — «каш-». Прямое значение — варёное кушанье из крупы, каша. Но в русских говорах у слова «каша» был и переносный смысл: так называли нечто беспорядочное, мешанину, а также суетливого или нерасторопного человека. Прозвище Каша могли дать тому, кто вечно путал дела, «заваривал кашу», или, наоборот, любителю этого блюда. Однако в фамилии Кашей мы видим не суффикс принадлежности (-ев, -ов), а формант -ей. Эта модель встречается значительно реже и обычно указывает на прозвищное происхождение с оттенком свойства: Кашей — буквально «тот, кто каша», «кашеподобный». Похожий принцип в фамилиях Бородей (от «борода»), Кудряшей (от «кудри»).

Есть и другая, менее очевидная версия. В южнорусских и украинских говорах «каша» — это ещё и свадебный обряд, и угощение. Прозвище Каша мог получить хлебосольный хозяин или участник свадебного поезда. Но в фамилии Кашей, скорее всего, закрепилась именно характеристика человека — возможно, немного рассеянного или медлительного, «каша в голове».

С точки зрения географии, фамилия не привязана к одному региону, но чаще встречается на западе и юге России, а также в Беларуси, где модель на -ей более употребительна. Встречается и вариант Кашев — с более привычным суффиксом -ев, что подтверждает: основа «каш» была активна в прозвищах.

Социальный статус первых носителей, скорее всего, был крестьянским или мещанским. Среди дворянства фамилия Кашей не фиксируется. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта модель упоминается, но сам корень «каш» не входит в число самых распространённых, что делает фамилию редкой и колоритной.

Если ваши предки носили фамилию Кашей, они, вероятно, выделялись в своей среде какой-то заметной чертой — не обязательно отрицательной. В народной культуре «каша» ассоциировалась с сытостью и домом, так что прозвище могло быть и добрым, и ироничным одновременно.