Фамилия Кат — одна из тех, где значение напрямую связано с профессией, и эта связь не вызывает споров. В основе лежит украинское слово «кат», которое в старину обозначало палача — человека, приводившего в исполнение смертные приговоры и телесные наказания. Прямое прозвище палачу давали редко, поэтому скорее всего фамилию получил не сам исполнитель казней, а человек, которого за суровый, жёсткий и непреклонный нрав прозвали Катом. Прозвище закрепилось как фамилия, минуя стадию отчества, — это редкая особенность, так как большинство русских фамилий образуется с помощью суффиксов (-ов, -ев, -ин). Здесь же суффикса нет: исходное слово стало фамилией в чистом виде.

Такая бессуффиксная модель встречается в основном у фамилий украинского происхождения, что подтверждает географическую привязку. Кат — фамилия, распространённая на территории современной Украины и в южных регионах России, где было сильно украинское влияние. В русских говорах слово «кат» не имело такого хождения, поэтому, если встретите носителя фамилии родом из центральных или северных областей России, есть смысл искать переселенческие корни.

Интересно, что у фамилии есть полный омоним — немецкая фамилия Кат (Katt, Kath), которая восходит к личному имени Кат (усечённая форма от Катарина) и не имеет отношения к палачу. Но для русскоязычного читателя основная, рабочая версия — прозвище по профессии или по характеру. Других правдоподобных гипотез нет: связь с польским «kat» (палач) лишь подтверждает ту же линию, а попытки вывести фамилию от редкого имени или географического названия выглядят натянутыми.

В итоге: если ваша фамилия Кат, ваш предок с высокой вероятностью был либо выходцем с Украины, либо человеком, которого окружающие запомнили как строгого и сурового. Никакой мистики — просто меткое прозвище, ставшее родовым именем.