Фамилия Кконьшин сразу обращает на себя внимание двойной «к» в начале — написание, которое в русской орфографии встречается редко и почти всегда указывает на иноязычное происхождение или намеренное искажение. Скорее всего, перед нами результат адаптации нерусской фамилии (например, польской, литовской или немецкой) к русскому звучанию, где двойная согласная появилась из-за особенностей передачи чужого слова. В русской традиции фамилии с удвоенной начальной буквой практически не образуются — это нехарактерно для славянских моделей на -ин, где основа обычно односложная.

Если отбросить первую «к», остаётся основа «конь» — слово, которое в русском языке означает лошадь (самца). Фамилия Коньшин (с одной «к») действительно существует и хорошо известна: её корень — прозвище Конь, которое давали человеку, сильному, работящему или упрямому, как конь. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Коньшин, то есть сын или потомок Коня. В этом случае Кконьшин могло возникнуть как описка, диалектное произношение с твёрдым приступом или намеренное удвоение для отличия от других ветвей рода.

Но есть и другая версия: двойная «к» могла передавать звук, близкий к «кк» в финно-угорских или балтских языках. Например, в карельских и вепсских фамилиях встречаются удвоения, которые при записи в русских документах сохраняли необычный вид. Если предки Кконьшиных жили на северо-западе России (Псковская, Новгородская, Ленинградская области), фамилия могла возникнуть от прозвища, связанного с местным словом «кконь» — в некоторых говорах так называли жеребёнка или низкорослую лошадку. В таком случае исходное прозвище звучало как Кконь, а фамилия образовалась стандартным русским способом: Кконь + шин (суффикс -ин с наращением «ш» для благозвучия, как в фамилиях Фомин — Фомшин, Кузьмин — Кузьмишин).

Сословный состав фамилии определить трудно: и крестьяне, и мещане могли носить такое прозвище, но двойная буква в начале часто встречается в документах XVII–XVIII веков, где писцы старались точно передать диалектное произношение. В современных справочниках фамилия Кконьшин встречается крайне редко — это скорее всего локальный вариант, сохранившийся в одной-двух семьях. Если вы ищете корни, стоит проверить метрические книги Псковской губернии или архивные записи по Олонецкой губернии: именно там чаще всего фиксировались нестандартные написания русских фамилий.