Фамилия Коньшин — классический пример «малого» суффикса -ин, указывающего на принадлежность: «чей?» — Коньшин, то есть сын или потомок Коньши. А Коньша — это не прозвище, а народная, просторечная форма канонического имени Конон. В древнерусском быту полные имена часто укорачивали, добавляя уменьшительно-ласкательный суффикс -ша: Конон превращался в Коню, а затем в Коньшу. Так же появились, например, Миша (от Михаил) или Гриша (от Григорий).

Само имя Конон пришло на Русь вместе с христианством из греческого языка, где оно означало «трудящийся» или «трудолюбивый». Это был распространённый крестильный вариант, нередкий среди крестьян и посадских людей. Поэтому основная версия происхождения фамилии Коньшин — от имени Коньша, а не от животного. Версия о прозвище Конь (от слова «конь») менее правдоподобна: она не объясняет, зачем понадобился суффикс -ша, который в русской антропонимии почти всегда указывает на производную форму личного имени.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: основа Коньш- плюс фамильный суффикс -ин. Такая модель была особенно характерна для центральных и северных областей России, где фамилии на -ин и -ов доминировали. В южнорусских и украинских землях вместо Коньшин, скорее всего, появился бы вариант Коньшенко.

Таким образом, предок носителя фамилии Коньшин с большой вероятностью носил крестильное имя Конон, а в быту его звали Коньша. Фамилия закрепилась за его потомками как отчество, без изменений перейдя в разряд наследственных. Никаких особых сословных привилегий или территориальных привязок эта фамилия не несёт — она из числа самых массовых, образованных от имён, бытовавших во всех слоях населения.