Фамилия Клетенкин — редкий случай, когда основа очевидна, а вот путь ее превращения в фамилию нестандартен. В центре лежит слово «клетень» или «клетёнка». В русских говорах так называли плетеную корзину, лукошко, а иногда и небольшой плетеный сарай или клетушку для хранения сена и зерна. Человек, делавший такие корзины или клети, получал прозвище Клетень. От него и пошел Клетенкин.

Необычность фамилии в суффиксе. Казалось бы, логичнее было бы Клетенев или Клетнев — по модели «корзина → корзинщик → Корзинкин». Но тут сработала другая, более архаичная модель: прозвище на -еня (Клетеня) или уменьшительная форма имени (вроде Клетя → Клетеня). Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: «чей сын?» — Клетенкин, то есть сын Клетени. Такие формы чаще встречались в северных и центральных областях России, где любили ласкательные прозвища.

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование, — связь с диалектным словом «клетень» в значении «медлительный, неповоротливый человек» (от «клеть» — запертое помещение, отсюда и «заклетенеть» — оцепенеть). Прозвище могли дать флегматичному или замкнутому человеку. Однако первая версия — ремесленная — выглядит убедительнее: фамилии от названий занятий (Бондарев, Кузнецов) всегда были массовыми, а Клетенкин вписывается в этот ряд, хоть и с необычным окончанием.

Географически фамилия редкая. В дореволюционных метриках и переписях она встречается в основном в Вятской и Костромской губерниях — регионах развитого кустарного плетения и плотницкого дела. Встречаются и варианты написания: Клетинкин, Клетёнкин (с ё), но ядро одно — корень «клет-» и суффикс, указывающий на прямого потомка мастера или носителя прозвища.

Таким образом, Клетенкин — это не «сын клетки», а скорее «сын корзинщика» или «сын того, кого звали Клетеня». Фамилия сохранила в себе и забытое ремесло, и особую словообразовательную модель, которая в современном русском языке уже не работает.