Фамилия Клименко построена по типичной украинской модели с суффиксом -енко, который изначально означал «сын» или «потомок». То есть Клименко — это буквально «сын Клима». Основа здесь — краткая форма крестильного имени Климент (церковнославянская форма — Климентий). Полное имя восходит к греческому слову со значением «милостивый» либо «виноградная лоза». В церковной традиции почитается святой мученик Климент, епископ Анкирский, который, по житию, двадцать восемь лет претерпевал гонения за веру и был обезглавлен в 312 году.

Фамилия прочно связана с украинской и южнорусской территорией. В Книге памяти Омской области значится Артемий Егорович Клименко, 1886 года рождения, из села Ажоги Мглинского уезда Черниговской губернии — это как раз историческая зона бытования фамилий на -енко. В документах Хабаровского края записаны украинец Владимир Никитович Клименко (1913 г.р.) из Краснодарского края и Федор Арсентьевич Клименко (1896 г.р.), уроженец села Копловки Киевской губернии. Эти записи подтверждают, что фамилия массово встречалась среди крестьянского населения Украины и переселенцев на восток.

В XX веке фамилия получила известность и в научной среде. Среди носителей — доктор технических наук, профессор Леонид Павлович Клименко (р. 1951), лауреат премии Ленинского комсомола Украины, академик Международной и Украинской инженерных академий, заслуженный деятель науки Украины (2006).