Фамилия Климай — редкий пример того, как полное церковное имя превратилось в обиходное прозвище, а затем закрепилось в качестве родового имени. В основе лежит краткая форма крестильного мужского имени Климентий. Само имя пришло из греческого языка и имеет два основных толкования: «милостивый» и «виноградная лоза». Первое значение связывают с латинским корнем clemens (снисходительный, мягкий), второе — с греческим словом, обозначающим виноградную ветвь. Какая из версий точнее, спорят до сих пор, но в народной среде имя прижилось именно в сокращённых вариантах — Клим, Клима, Климай.

Модель образования фамилии нестандартна для русского языка. Обычно фамилии от имён образовывали с помощью суффиксов -ов, -ев, -ин (Климов, Климентьев). Форма на -ай встречается гораздо реже и указывает на то, что прозвище или обиходное имя (Климай) застыло в документах без дополнительных родовых суффиксов. Такие «чистые» фамилии характерны для украинской и белорусской традиции, а также для южнорусских говоров. Поэтому предки носителей фамилии Климай с высокой вероятностью происходят из западнорусских или малороссийских земель, где имя Климентий сокращали до Климай, а не до привычного Клим.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, Климай стоит особняком. Крупные ономастические работы (например, словарь Б. Унбегауна) разбирают фамилии Климов, Клименко, Климович, но Климай — случай более локальный. Это не столько фамилия знатного рода, сколько бытовое прозвище, которое дали человеку в деревне или казачьем поселении. Носитель такого прозвища мог быть либо сыном Климентия, которого в быту звали просто Климай, либо сам получить это имя как уличное, если его звали по отцу.

Социальный контекст тоже прост: фамилия не указывает на принадлежность к духовенству или дворянству. Это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где полное имя заменяли коротким и удобным для повседневного общения вариантом. Никаких спорных гипотез о происхождении от тюркских или финно-угорских корней здесь нет — основа однозначно греко-христианская, а суффикс указывает на восточнославянскую языковую среду.