Фамилия Климинский — типичный пример того, как географическая привязка перевесила личное имя. Её основа — топоним, а не прозвище или профессия. Суффикс -ский указывает на связь с местом: такую фамилию получал либо владелец поместья, либо выходец из села или деревни с названием Климово, Клим, Климинка или Климин. В основе этих названий лежит мужское имя Клим, сокращённая форма от Климент (в церковной традиции — святой Климент, папа Римский). Имя было распространено на Руси, поэтому и сёл с корнем «Клим» множество — от Смоленщины до Вологодчины.

Модель образования проста: к названию населённого пункта добавили суффикс -ск-, а окончание -ий закрепило принадлежность. В отличие от фамилий на -ов/-ев или -ин, которые часто возникали от имени отца (Климов — сын Клима), Климинский — «тот, кто из Климина» или «владеющий Климовым». Это дворянский или шляхетский паттерн: в Речи Посполитой и на западе России такие фамилии носили мелкопоместные дворяне, которые брали фамилию по названию своего имения. В крестьянской среде фамилии на -ский встречались реже, но если деревня была большой, её жители, переезжая в город, могли записаться как Климинские.

Есть и более редкая версия — что фамилия произошла от прозвища «Клима» (от диалектного «климить» — суетиться, привередничать) с последующим добавлением суффикса -ин- и -ский. Но она слабее: прозвищные фамилии на -ский обычно образуются от более сложных основ, а здесь проще предположить топоним.

В дореволюционных метриках Климинские чаще всего встречаются в Могилёвской, Витебской и Смоленской губерниях — как раз на бывших землях Великого княжества Литовского, где фамилии на -ский были нормой для шляхты и мещан. В советское время фамилия утратила сословный оттенок, но сохранила географический корень. Если ваши предки — Климинские, стоит искать их происхождение в небольших деревнях с названием Климово или Климинка, которых в этих краях десятки.