Фамилия Кочуй — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а глагол в повелительном наклонении. Такие фамилии в русской традиции встречаются, но нечасто: Кочуй, Держи, Терпи, Смотри. Человек, получивший такое прозвище, скорее всего, был известен тем, что постоянно переезжал, не сидел на месте — «кочевал». В диалектах «кочуй» означало бродягу, цыгана или просто непоседу. В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые образуются от прилагательных или существительных (Кузнецов, Иванов), модель с чистым глаголом в повелительном наклонении — более древняя, прозвищная, и часто фиксировалась без изменений в документах XV–XVII веков.

Географически фамилия привязана к югу России и Украине. В реестрах запорожских казаков встречаются прозвища Кочубей и Кочур, но Кочуй — более редкий вариант, возможно, украинского происхождения. В русских говорах слово «кочуй» имело и второе значение — «скиталец», «беглый крестьянин». Поэтому предок-носитель фамилии мог быть вольным человеком, не привязанным к земле, либо, напротив, беглым, скрывающимся от помещика.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: от тюркского «коч» (кочевать) или «кочу» (переселение). В таком случае фамилия могла закрепиться за человеком, пришедшим из степных народов или имевшим татарские корни. Однако русская глагольная модель выглядит убедительнее: в ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна) фамилии типа Кочуй относят к «повелительным» прозвищам, которые давали за характер или образ жизни.

Сейчас фамилия Кочуй встречается редко, в основном в Краснодарском крае, Ростовской области и на Украине. Носители часто не знают, что их фамилия — буквально приказ «кочуй!», застывший в документе четыре века назад.