Вероятно, фамилия Когай восходит к прозвищу Когай. Когай — месяц кукушки у сибирских татар. У сибирских татар был свой календарь, отражающий особенности их хозяйственной жизни, который, по-видимому, применялся и в государственных документах. Календарь не сохранился до наших дней. Однако А.П. Дульзон обнаружил календарь чулымских татар. Можно предполагать, что он не сильно отличался от общего календаря сибирских татар. Как и у соседних тюрков (сагайцев, койбалов, алтайцев, черневых татар), календарный год чулымцев делился на 13 месяцев, в названиях которых нашли отражение основные особенности хозяйственной жизни: Чылзырты - хребет года (соответствовал примерно январю); Тулгай - месяц лисицы; Кучуган аи - месяц орла; Каргай - месяц вороны; Когай - месяц кукушки; Арык палык аи - месяц тощей рыбы; Изиг юрген аи - месяц теплой икры; Кузукай - месяц сбора орехов; Чазыг аи - месяц листопада; Чалакак аи - гололистный месяц; Чарым кыш, чарым аи - полмесяца зимы, полмесяца лета; Кичиг соок - небольшой мороз; Улуг соок - сильный мороз . Можно предположить, что основатель рода Когай родился в месяц кукушки, за что и получил прозвище Когай. Согласно другой версии, фамилия Когай восходит к хакасскому личному мужскому имени Когай, значение которого, к сожалению, не известно.