Фамилия Когай напрямую связана с тюркским календарём, а точнее — с месяцем кукушки. У сибирских татар, как и у чулымских татар, сагайцев и алтайцев, год делился на 13 лунных месяцев, каждый из которых имел своё название, отражавшее хозяйственный уклад или природные явления. Один из таких месяцев назывался «Когай». Исследователь А. П. Дульзон зафиксировал этот календарь у чулымцев, и есть основания полагать, что он был общим для многих тюркских народов Сибири. Человек, родившийся в месяц кукушки, мог получить соответствующее прозвище — Когай, которое затем закрепилось как фамилия.

Словообразовательная модель здесь проста: фамилия образована напрямую от прозвища или личного имени без добавления типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский). Это характерно для фамилий тюркского происхождения, которые часто сохраняли исходную форму. В данном случае Когай — это и есть основа, которая не менялась при переходе в фамилию.

Существует и вторая версия, менее проработанная: фамилия могла произойти от хакасского мужского имени Когай. Однако точное значение этого имени неизвестно, а связь с календарём выглядит более убедительной, поскольку она опирается на задокументированный этнографический материал. В сибирских календарях, помимо Когая, фигурировали и другие названия месяцев, например, «Каргай» (месяц вороны) или «Тулгай» (месяц лисицы), что подтверждает системность такого способа именования.

Таким образом, предки носителей фамилии Когай, скорее всего, жили на территории Западной Сибири или Хакасии и принадлежали к одной из тюркских этнических групп. Прозвище указывало на время рождения, что было распространённой практикой в культурах, где природные циклы играли ключевую роль в хозяйстве и быту.