Фамилия Конкины образована по самой распространённой в русском языке модели: к основе прибавили суффикс принадлежности -ин. Этот суффикс указывает на то, что перед нами, скорее всего, «сын такого-то» или «человек из семьи такого-то». В данном случае основа — имя или прозвище Конка.

Здесь стоит разобраться, что такое Конка. Самая надёжная версия связывает это имя с каноническим мужским именем Конон. В старину имя Конон было обычным, а в быту его часто сокращали: Кононка, Конка. Так что предок современных Конкиных мог быть просто Кононом, которого домашние звали Конкой. Фамилия закрепилась за его детьми и внуками: «чей будешь?» — «Конкин», то есть из рода Конки.

Вторая гипотеза, менее правдоподобная, выводит фамилию из тюркского слова «кон» — «красота». Слабость этой версии в том, что русская фамилия на -ин, образованная от тюркского корня, — случай редкий и требует доказательств, которых нет. Кроме того, в татарской среде фамилии по такому слову строились бы иначе, с другими суффиксами. Поэтому версия с именем Конон выглядит гораздо убедительнее.

Географически фамилия Конкины не привязана к одной области, но чаще встречается в центральных регионах России и Поволжье — там, где имя Конон было особенно популярно. Встречается и вариант Конкин (без окончания -ы), но форма Конкины — это множественное число, типичное для обозначения целого рода или семьи в документах XIX–XX веков.

Таким образом, фамилия Конкины — это не загадка, а прозрачный след имени, которое носил ваш предок. Никакого отношения к лошадям («конь») она не имеет: ударение в исходном имени Конка падает на первый слог, и корень здесь другой.