Фамилия Королльков — редкий и орфографически неожиданный случай. Сразу бросается в глаза двойное «л» и мягкий знак, что сразу же выбивает её из привычного ряда фамилий на -ов. На самом деле, перед нами, скорее всего, не случайная описка в паспорте, а вполне объяснимое явление, связанное с диалектным произношением и последующей фиксацией на письме.

В основе фамилии лежит прозвище или мирское имя Королёк. Уменьшительно-ласкательная форма от слова «король» в русских говорах имела два значения. Первое, самое прямое — «маленький король», то есть человек, который вёл себя важно, любил покомандовать, или, напротив, был любимцем, «золотцем» в коллективе (сравните с «королёк» — любимчик). Второе значение — ремесленное: так называли мастера, работающего с корольками — особым сортом стеклянных бус или мелких украшений. Прозвище Королёк было широко распространено в XVI–XVII веках, и от него образовались десятки фамилий.

Вернёмся к написанию. В живой речи, особенно в северных и южнорусских говорах, после мягкого «л» (л') перед твёрдым согласным мог появляться призвук, который на письме передавали как мягкий знак. Сочетание «льк» произносилось как «льк», и переписчик или сам носитель, привыкший к такому звучанию, записывал фамилию как Корольков. Двойное «л» — явление ещё более редкое, оно могло возникнуть под влиянием польского или украинского написания (ср. польск. Królik — «кролик», но в русском контексте это вряд ли), либо как гиперкорректная форма: человек хотел подчеркнуть, что в основе именно «король», а не что-то другое, и удвоил согласный. Таким образом, Королльков — это вариант, который мог закрепиться в одном-двух родах из-за местной письменной традиции или ошибки писаря.

По модели образования фамилия типична для русского севера и центра: прозвище на -ок → притяжательное прилагательное с суффиксом -ов (чей? — Корольков). Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская. Среди однокоренных «собратьев» — Корольков (самый частый вариант), Королькевич, Корольчук. Ваш вариант стоит особняком и является отличным маркером для генеалогического поиска: если вы найдёте в архивах запись именно с двойным «л» и мягким знаком, это почти наверняка укажет на конкретную ветвь рода, жившую в местности с характерным говором.