Фамилия Коверин образована от прозвища Коверя. В основе лежит глагол «коверкать» — в старых говорах «коверять» означало «гнуть, мять, портить, делать не так, как надо». Прозвище Коверя могли дать человеку неловкому, неуклюжему, который всё делал «наперекосяк», или тому, кто говорил невнятно, «коверкал» слова. В некоторых диалектах «коверя» — ещё и упрямец, спорщик. Так что фамилия происходит не от имени, а от бытовой характеристики человека, причём не обязательно обидной: в крестьянской среде такие прозвища могли давать с добродушной иронией.

По типу образования фамилия относится к самой распространённой модели на -ин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей сын?» — Коверин, то есть сын Ковери. Аналогично образованы фамилии от прозвищ на -я: Грязнов (от Грязня), Некрасов (от Некрас), Косов (от Косой). В отличие от фамилий на -ов, которые чаще возникали от имён на согласный (Иван — Иванов), прозвища на -я давали фамилии именно с суффиксом -ин.

Интересная деталь: в некоторых южнорусских говорах слово «коверя» имело иное значение — «корявый, кривой предмет» или даже «закорючка». Это значит, что прозвище могло относиться к человеку с физическим изъяном — например, с кривыми ногами или руками. Однако чаще всего ономасты связывают фамилию именно с манерой поведения или речи.

С точки зрения географии фамилия Коверина встречается в разных регионах России, но заметно чаще — в центральных областях и на Волге. В документах XVII–XVIII веков упоминаются крестьяне и посадские люди с этой фамилией в Рязанском и Тамбовском краях, что подтверждает её исконно русское происхождение без иноязычных корней.

Сравните с однокоренными фамилиями: Коверзнев (от «коверзень» — капризный человек), Коверкин (от «коверка» — искривление). Все они из одного гнезда, но Коверин — самая прямая и древняя форма, без добавочных суффиксов. Если ваш предок носил прозвище Коверя, он, скорее всего, был мастером на что-то своё, но не на аккуратность — или, наоборот, добрым чудаком, которого в деревне помнили именно за эту черту.