Фамилия Кривицкаий — один из тех случаев, когда написание даёт ключ к происхождению, а орфографическая ошибка становится историческим свидетельством. Правильная, «книжная» форма — Кривицкий, но в документах или при записи на слух могло появиться двойное «а» (Кривицкаий), которое отражает живое произношение: окончание -ский часто звучит неотчётливо, и писарь фиксировал его так, как слышал.

Основа фамилии — слово «кривой» в одном из его старых значений. В русских говорах «кривой» — не только «изогнутый», но и «одноглазый», «хромой» или «нечестный». Прозвище Кривец давали человеку с заметным физическим недостатком (кривая нога, косой глаз) или с хитрым, уклончивым характером. От этого прозвища образовали сначала имя Кривец (оно встречается в документах XVI–XVII веков), а затем через патронимический суффикс -иц- (Кривиц-) и типичный для шляхты и духовенства суффикс -ский — фамилию Кривицкий.

Суффикс -ский указывает на два возможных социальных слоя. Чаще всего такие фамилии носили дворяне (шляхта) Речи Посполитой — по названию имения или местности. Например, в Беларуси и на западе России есть деревни Кривичи, Кривицы, Кривцы; владелец такой деревни мог стать Кривицким. Но ту же модель использовали и в духовенстве: семинаристам нередко давали фамилии на -ский вместо простонародных, «облагораживая» их. Так сын крестьянина по прозвищу Кривец в семинарии мог записаться Кривицким.

Географически фамилия Кривицкий (и её варианты вроде Кривицкаий) плотнее всего привязана к западным и юго-западным регионам — современные Беларусь, Украина, западные области России. В польском языке есть параллельная форма Krzywicki, что подтверждает общее происхождение.

Таким образом, носитель фамилии Кривицкаий, скорее всего, потомок либо человека с прозвищем Кривец (по внешности или характеру), либо выходца из села с похожим названием. А двойное «а» в окончании — не ошибка, а живая примета того, как фамилия звучала в устной речи и как её записал когда-то местный писарь.