Фамилия Кукунимс — редкая и необычная для русского слуха. Её форма сразу выдает нерусское происхождение: окончание -с, а не типичные русские суффиксы -ов, -ин или -ский. Скорее всего, перед нами латышская или, шире, балтийская фамилия. В латышском языке многие фамилии оканчиваются на -s (в мужском роде) и -a (в женском), и при русификации окончание могли оставить без изменений или переделать в Кукунимс.

Основа фамилии — Кукун- — скорее всего, восходит к латышскому слову kukulis (кукуль, кокон, свёрток) либо к глаголу kukot (куковать, подражать кукушке). В балтийской ономастике часты прозвища от названий птиц и звукоподражаний. Если предок получил прозвище «Кукун» — за манеру говорить, за привычку повторять одно и то же или за сходство с кукушкой — то фамилия образована по типичной латышской модели: основа + суффикс -im- (уменьшительный или принадлежностный) + окончание -s. Примерно так же устроены латышские фамилии вроде Bērziņš (от bērzs — берёза) или Kalniņš (от kalns — гора). То есть Кукунимс может значить что-то вроде «маленький кукун» или «сын Кукуна».

Другая, менее вероятная версия — финно-угорское происхождение. В эстонском и карельском языках есть слово kukkun (кукла, игрушка), от которого могло образоваться прозвище, а затем фамилия с суффиксом -имс. Но окончание -с в финно-угорских фамилиях встречается реже, чем в балтийских.

Географически фамилия Кукунимс почти не встречается за пределами Латвии и, возможно, приграничных районов Псковской области, куда в XIX веке переселялись латышские крестьяне. В дореволюционных метрических книгах её можно найти среди латышей-лютеран, которые после отмены крепостного права получили фамилии по прозвищам или названиям хуторов. Сословно носители были преимущественно крестьянами или мещанами.

Известных носителей с такой фамилией в открытых источниках нет — это редкая, локальная фамилия, сохранившаяся в основном в Латвии и у потомков латышских эмигрантов. Если ваша фамилия Кукунимс, то с высокой вероятностью вы имеете балтийские корни, а предок носил прозвище, связанное с кукушкой или с неким «кукуном» — возможно, так в деревне называли человека с характерной манерой речи или поведения.