Фамилия Кулажинский, скорее всего, образована от названия населенного пункта — села, деревни или хутора с корнем «Кулаж-». В русской ономастике суффикс -ский/-цкий традиционно указывает на географическое происхождение: такую фамилию получал человек, владевший или живший в месте с этим именем, либо его потомки. Географические названия с основой «Кулаж-» встречаются в разных регионах, но наиболее вероятная привязка — к бывшим землям Речи Посполитой, где суффикс -ин-ский часто соединял топоним с фамилией (ср. Кулажин — село в Гродненской области Беларуси). Это делает фамилию типичной для шляхетской или крестьянской ономастики западных губерний Российской империи.

Корень «Кулаж-» неоднозначен. Проще всего связать его со словом «кулак» — в значении «сжатая кисть» или «зажиточный крестьянин». Однако суффикс -аж- в основе встречается редко, и это может указывать на искажение более старой формы. Возможна связь с украинским или белорусским диалектным «кулажити» — «мошенничать, плутовать». В таком случае прозвище Кулажа могло закрепиться за хитрым человеком, а затем перейти в фамилию. Есть и версия, что основа восходит к тюркскому «кулак» — «ухо», но для фамилии с польско-литовским суффиксом это маловероятно.

Морфологически фамилия Кулажинский сложилась из трех частей: корень «кулаж-», суффикс принадлежности -ин- (указывающий на «сына Кулажи») и типичный для дворянских и духовных фамилий суффикс -ский. Такая модель характерна для фамилий, которые оформлялись в XVII–XIX веках, когда потомки людей с прозвищами или из конкретных мест получали «официальную» фамилию с -ский. В отличие от простых фамилий на -ов, Кулажинский — более поздняя и «книжная» форма, часто встречавшаяся у священников и мелкопоместной шляхты.

Встречаемость фамилии сегодня невысока, что подтверждает её локальное происхождение. Носители Кулажинских сосредоточены в основном в Беларуси и западных областях России (Смоленская, Брянская), а также среди потомков эмигрантов первой волны. Если ваши предки носили эту фамилию, они почти наверняка происходили из небольшого местечка или хутора, название которого со временем стерлось с карт. Поиск в метрических книгах Гродненской, Минской или Витебской губерний может дать точный ответ.