Фамилия Курика звучит не по-русски, и это подсказка. В ней нет типичных для русских фамилий суффиксов -ов, -ин или -ский. Основа «Кур-» и окончание «-ика» выдают её южнославянское или западнославянское происхождение, скорее всего украинское или белорусское. В этих языках «курика» — диалектное слово, означающее «курица» или «цыплёнок». Фамилию могли дать человеку, который держал много кур, торговал ими или просто чем-то напоминал эту птицу — например, суетливостью или невысоким ростом.

Словообразовательная модель проста: прозвище Курика перешло в фамилию без изменений. Это типично для украинских и белорусских фамилий на -а, -я, которые не склонялись по русскому образцу, а застыли в форме именительного падежа. В русском языке фамилии на -ика встречаются редко, чаще они имеют польские корни (сравните с фамилией Курика у поляков, где это может быть форма от имени Кирик).

Географически фамилия Курика распространена на западе Украины, в Беларуси и в приграничных областях России — Брянской, Смоленской. Если ваши предки носили эту фамилию, они могли быть крестьянами или мещанами из тех краёв. В отличие от дворянских фамилий, которые часто образовывались от названий имений, Курика — прозвище из быта, прямое и без намёка на высокое происхождение.

Интересная деталь: в некоторых говорах «курика» могло означать не только птицу, но и «непоседу» или «того, кто вечно копошится». Так что фамилия могла закрепиться за человеком с беспокойным характером, а не за птицеводом. Спор между этими версиями неразрешим без конкретных документов, но обе укладываются в логику народных прозвищ.

Встречается и редкий вариант написания — Курика с ударением на первый слог (Ку́рика), что характерно для польского произношения. Это ещё один намёк на возможное шляхетское прошлое: в Польше фамилии на -ика могли принадлежать мелкой шляхте, но в русских губерниях такие носители чаще всего оказывались однодворцами или государственными крестьянами.