Фамилия Кувырков образована от прозвища Кувырок или Кувырка — так на Руси могли назвать непоседливого, вертлявого человека, который любил кувыркаться. В основе прозвища — глагол «кувыркаться», то есть переворачиваться через голову. Прямое значение слова подсказывает: прозвище мог получить либо ребёнок-непоседа, либо взрослый, чья работа или манера поведения ассоциировалась с резкими, неожиданными движениями (скоморох, плясун, даже падающий с лошади всадник). По другой версии, менее вероятной, прозвище Кувырок могли дать человеку с округлой фигурой или тому, кто жил в изгибе реки — в «кувырке», то есть в излучине. Но первое объяснение, от поведения, считается основным.

Фамилия построена по типичной русской модели: к основе Кувырк- добавили суффикс принадлежности -ов. Суффикс указывает на то, что фамилия — отчество: Кувырков буквально значит «сын Кувырка». Такая модель (прозвище + -ов) была массовой у всех сословий, но особенно часто встречалась у крестьян и мещан, у которых фамилии закрепились позже, чем у дворян, — в основном в XVIII–XIX веках.

Именования, образованные по той же модели, что и фамилия Кувырков, широко представлены в ономастике восточных, западных и южных славян. У поляков и чехов есть фамилии Кувырка, Кувыртек, у украинцев — Кувирка, Кувирко. Все они восходят к тому же корню со значением «переворачивать, крутить». Славянские фамилии возникали от личного прозвища или от имени (христианского или языческого), и Кувырков — яркий пример прозвищной фамилии, в основе которой не имя святого, а живая черта человека.

В документах фамилия встречается с XVII века: в переписных книгах по Рязанскому краю упоминается крестьянин Ивашко Кувырков (1646 год). Географически фамилия тяготеет к центральным и южным областям России — Рязанской, Тамбовской, Воронежской, а также к Поволжью. Встречается и вариант с ударением на первый слог — Ку́вырков, что не меняет смысла, но отражает местную произносительную традицию.

Редкий случай: фамилия Кувырков не имеет отношения к однокоренным Кувыкин, Кувырев — те образованы от других основ. Зато к той же модели принадлежат фамилии Кувырзин, Кувыршин — с суффиксами -ин, -шин, но с тем же корнем. Таким образом, Кувырков — не уникальная, но заметная в ряду «подвижных» прозвищных фамилий, чьё значение легко угадывается и сегодня.