Фамилия Кувыркова образована от прозвища Кувырок — человека непоседливого, вертлявого или склонного к неожиданным поступкам. В основе лежит глагол «кувыркаться», то есть переворачиваться через голову. Такое прозвище могли дать подвижному ребёнку, который то и дело кувыркался, или взрослому с непостоянным, «перевёртывающимся» характером. В говорах у слова были и переносные значения: «кувырка» называли не только акробата, но и неряху, человека, который ходит неопрятно, «кувырком» — в беспорядке. Так что прозвище могло относиться и к внешнему виду.

Суффикс -ов- указывает на типичную модель русских фамилий: «чей?» — Кувырков, то есть сын или потомок Кувырка. Женская форма Кувыркова — это вариант по мужу или по отцу, в зависимости от контекста. Фамилия довольно редкая, встречается в основном в центральных областях России, особенно в Рязанской и Тамбовской губерниях, где были распространены прозвища от глаголов движения.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с диалектным словом «кувырка» — так в некоторых местах называли короткую, обрубленную вещь, например, обрубок бревна или кусок ткани. Тогда прозвище могло достаться человеку невысокого роста или коренастому. Но эта гипотеза слабее — в письменных источниках XVII–XVIII веков чаще встречаются именно прозвища от действий, а не от предметов.

В документах фамилия фиксируется с XVIII века: в ревизских сказках Рязанской губернии упоминаются крестьяне Кувырковы, а также однодворцы — потомки служилых людей, охранявших южные рубежи. Таким образом, предки Кувырковых были не из знати, а из крестьянского или служилого сословия, и фамилия их — чисто русская, народная, без иноязычных корней.