Фамилия Лагозинский — один из тех случаев, когда географическая привязка оказывается надёжнее, чем попытка угадать значение корня. Её основа — не имя и не профессия, а топоним, и это сразу сужает круг поисков.

Модель образования типична для польской и западнорусской шляхты: суффикс -ский (реже -цкий) крепился к названию места, чтобы указать на владение им или происхождение оттуда. Так появились тысячи фамилий дворянского и полу-дворянского корня. Лагозинский — явно от названия населённого пункта вроде Лагозино, Лагозы или Лагозин. Такие топонимы встречаются в Беларуси, на востоке Польши и в западных областях России — в зоне исторического влияния Речи Посполитой.

Корень лагоз- звучит не по-русски. Вероятнее всего, он восходит к литовскому или балтскому слову: ср. лит. lãgas — «окно», либо lagėti — «медлить, задерживаться». На карте Беларуси есть деревня Лагозы (Витебская область), а в Польше — Łagozy. Если фамилия пошла оттуда, то первый носитель — скорее всего, мелкий землевладелец или шляхтич, которому дали прозвание по его усадьбе или хутору.

Вторая, менее вероятная версия — связь с тюркским lagyz (грязь, топь) или с диалектным русским «лагоза» — сварливый, вздорный человек. Но против этого говорит суффикс -инский: прозвищные фамилии на -ский встречаются редко, и почти всегда они вторичны, то есть сначала превращались в топоним. А уж потом — в фамилию. Поэтому «вздорный человек» мог бы дать начало фамилии Лагозин, Лагозов, но не Лагозинский.

В сословном плане Лагозинские — почти наверняка не крестьяне. Фамилии на -ский до XIX века оставались маркером дворянского или, как минимум, служилого происхождения. Крепостным их давали редко и в основном в конце XIX века по барской прихоти. В метрических книгах XIX века эта фамилия встречается в основном среди униатов и католиков западных губерний — Минской, Гродненской, Витебской.

Если ищете своих Лагозинских, начинайте с карты: ищите деревни Лагозино, Лагозы, Лагозин в современных Беларуси и Польше. Скорее всего, фамилия не разошлась далеко от места своего рождения — это локальный, «гнездовой» тип, который до XX века редко покидал родной уезд.