Фамилия Лахмуткин — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Она образована по стандартной русской модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — Лахмуткин, то есть сын или потомок Лахмутки. Основа здесь — прозвище или некалендарное имя Лахмутка. А вот с корнем начинается главная загадка.

Самая вероятная версия связывает Лахмутку с диалектным словом «лахмутка». В русских говорах, особенно на северо-западе и в Сибири, так называли лохмотья, ветхую одежду, тряпку. Прозвище Лахмутка могли дать человеку неряшливому, небрежно одетому или, наоборот, в ироничном смысле — бедняку, который ходит в обносках. Однако у прозвищ редко бывает одно прямое значение: не исключено, что так в шутку называли и того, кто торговал старьём, тряпичника.

Вторая, менее очевидная гипотеза выводит корень за пределы русского языка. В тюркских языках, например в татарском, есть основа «лахмет» или «лахмут», восходящая к арабскому «рахмат» (милость, благодать) с изменением начального звука. Если это так, фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар или в зоне русско-тюркского пограничья, а прозвище Лахмутка означало бы что-то вроде «милостивец» или «благодатный». Спорность этой версии в том, что промежуточная форма Лахмутка для тюркского имени маловероятна — скорее уж было бы Лахмут, а уж от него по-русски образовали бы Лахмутов.

Географически фамилия Лахмуткин встречается крайне редко. Основные следы ведут в Поволжье (Самарская, Ульяновская области) и в некоторые районы Сибири, куда переселенцы уходили в XIX–XX веках. Ни в одном из известных словарей русских фамилий (Унбегаун, Никонов, Веселовский) эта фамилия не упоминается — она либо локальная, либо поздняя по времени фиксации. Сословной привязки нет: Лахмуткины могли быть и крестьянами, и мещанами, но явно не дворянами — у дворянских родов суффикс -ин встречается реже, а основа была бы более «благозвучной».

Коротко: скорее всего, ваш предок получил прозвище Лахмутка за неопрятный вид или род занятий, связанный с тряпьём. Фамилия исконно русская по форме, но не исключено, что в основе лежит заимствованное слово, переосмысленное в крестьянской среде.