Фамилия Ламейкин — редкий случай, когда основа, скорее всего, не русская, а заимствованная, но «обрусевшая» с помощью типичного русского суффикса. В ней явно выделяется суффикс -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — Ламейкин, то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Ламе́йка.

Ключевой вопрос — что такое «Ламе́йка»? Самое вероятное объяснение лежит в области профессиональных прозвищ. В южнорусских и украинских говорах словом «ламей» или «ламай» называли ломового извозчика, ломовика — того, кто занимался перевозкой тяжелых грузов (от «ломать» в значении «взламывать, тащить с усилием»). Человек с таким прозвищем мог быть грузчиком, возчиком или просто обладателем грубой, «ломовой» силы. Суффикс -к- в прозвище Ламе́йка — уменьшительный или уничижительный, что типично для русских прозвищ (ср. Кузька, Ванька), поэтому исходное прозвище звучало как Ламе́й, а Ламейка — его обиходная форма.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с французским именем Ламе (Lamé) или фамилией Ламе. В XIX веке среди обрусевших иностранцев, особенно французов-гувернёров, ремесленников и военнопленных 1812 года, были носители такой фамилии. Их потомки, попав в крестьянскую или мещанскую среду, могли получить русское отчество Ламейкин. Однако эта версия слабее: фамилия Ламейкин встречается в основном в центральных и южных губерниях России (Тамбовская, Воронежская, Курская области), где французское влияние было минимальным, а ломовой извоз — обычным делом.

Словообразовательная модель проста: прозвище Ламе́й → уменьшительное Ламе́йка → отчество (патроним) Ламейкин. Фамилия фиксируется в переписях с XVIII века, причем носители почти всегда — государственные или помещичьи крестьяне, реже — мещане. Никакого дворянского или духовного происхождения у Ламейкиных не прослеживается.

Таким образом, если вы Ламейкин, ваш предок, скорее всего, был крепким работягой, занимавшимся тяжёлой физической работой — ломовым извозом или грузоперевозками. Фамилия звучит грубовато, но за ней стоит конкретная профессия, а не случайное прозвище.