Фамилия Лапешкин образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от прозвища или имени, оканчивающегося на -а, с помощью притяжательного суффикса -ин. Это значит, что предка носителя фамилии звали Лапешка, а его сын или внук стал Лапешкиным. Вопрос в том, что означало это исходное имя.

Наиболее вероятная версия — что Лапешка была уменьшительной формой редких в наши дни, но вполне обычных в старину крестильных имён Евлампий и Харлампий. Оба имени греческого происхождения: Евлампий означает «благосветный», а Харлампий — «светящийся радостью». В народном быту длинные имена часто сокращали до коротких обиходных форм, и Лапешка могло быть одной из них, наряду с Лампием или Ламой.

Существует и другая версия, по которой Лапешка — не производное от церковного имени, а дохристианское прозвище, ласковое обращение к дорогому человеку. В этом случае корень тот же, что в словах «лапа», «лапушка», «лапонька». Такие прозвища-нежности в среде крестьян и посадских людей встречались, хотя и реже, чем прозвища по внешности или роду занятий. Эта гипотеза менее правдоподобна: если бы Лапешка было самостоятельным прозвищем со значением «милый», оно встречалось бы в документах чаще, чем фиксируется.

Как бы то ни было, обе версии сходятся в одном: в основе фамилии лежит слово, связанное с теплотой, светом или лаской. Фамилия Лапешкин не относится к числу аристократических — её носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами, и своё прозвание они получили от отца или деда, которого в кругу семьи называли Лапешкой.