Фамилия Лёбах звучит не по-русски, и это не случайно. Встречается она редко, и её происхождение почти наверняка не славянское, а немецкое или еврейское (ашкеназское). В русском языке фамилия закрепилась в форме, близкой к оригинальному произношению, и это главная подсказка для этимолога.

Основа фамилии — немецкая фамилия Löbach (или Loebach). В немецком языке она составная: первая часть Löb- восходит к древневерхненемецкому liob, что значит «милый, любимый», либо к слову Löwe — «лев». Вторая часть -bach означает «ручей». Таким образом, буквальное значение Löbach — «любимый ручей» или «львиный ручей». Вряд ли это было прозвище человека — скорее, топонимическая фамилия, то есть данная по названию места, где жил первый носитель. В Германии и Австрии действительно существуют небольшие населённые пункты с названием Löbach.

Как фамилия Лёбах попала в русскую среду? Скорее всего, её принесли немецкие колонисты, переселявшиеся в Российскую империю в XVIII–XIX веках по приглашению Екатерины II, или еврейские семьи, говорившие на идише, для которых немецкая модель образования фамилий была типичной. В России написание и произношение адаптировались: немецкое ö передали как «ё», а конечное -ch — как «х». Фамилия не получила русского суффикса (вроде -ов или -ин), поэтому она осталась «голой», несклоняемой в мужском роде: Иван Лёбах, но у Ивана Лёбаха.

Встречается и вариант с ударением на первом слоге — Лёбах, и на втором — Леба́х. Первый вариант ближе к немецкому произношению, второй — результат обрусения. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в Поволжье (где были немецкие колонии), в Причерноморье или в западных губерниях Российской империи, где оседали выходцы из немецких земель.