Фамилия Логишев — это отчество, образованное от имени-прозвища. В её основе лежит имя Логиш, которое, скорее всего, является просторечной, «домашней» формой крестильного имени Логгин (от латинского longus — «длинный»). В русском языке такие усечённые или уменьшительные формы с суффиксом -ыш (как Малыш, Глупыш) давали начало фамилиям: Логиш — буквально «маленький Логгин» или «сын Логгина». Фамилия образована по стандартной модели «чья?»: Логишев — «сын Логиша».

Интересная деталь: суффикс -ыш в прозвищах часто имел ласкательный или уменьшительный оттенок, но не всегда. Иногда он указывал на характерный признак человека (например, «Короты́ш» — низкорослый). В случае с Логишем, вероятнее всего, мы имеем дело именно с обиходным сокращением церковного имени, а не с прозвищем по внешности. Имя Логгин было распространено в среде крестьян и купечества, но никогда не входило в число самых частых, поэтому и фамилия Логишев встречается не повсеместно.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным регионам России. Встречается в старых переписных книгах Вологодской, Костромской и Вятской губерний, что подтверждает её крестьянское происхождение. В дворянских родословных книгах Логишевы не значатся — это фамилия, типичная для тяглового сословия, людей, которые «тянули» подати и служили в рекрутах.

Словообразовательная модель проста: корень Логиш- + патронимический суффикс -ев (поскольку основа заканчивается на шипящий, пишется -ев, а не -ов). Встречается вариант написания с двойным «г» — Логгишев, но он архаичен и связан с церковным произношением имени. Современная орфография закрепила форму Логишев.

Резюмируя: если ваша фамилия Логишев, ваши предки по мужской линии были людьми, которых в быту звали Логиш — либо уменьшительно от Логгина, либо, что менее вероятно, по какой-то отличительной черте. Это фамилия без аристократического налёта, но с ясной и честной историей: от крестьянского имени к отчеству, закреплённому в документе.