Фамилия Логишков образована от имени или прозвища через суффикс -ов, указывающий на принадлежность: Логишков буквально значит «сын Логишка» или «человек из рода Логишка». Основа здесь — Логиш, уменьшительная форма от крестильного имени Логгин (в народном произношении Логин). Имя Логгин восходит к латинскому Longinus — «длинный», в христианской традиции связано с сотником Лонгином, пронзившим ребро распятого Иисуса. Уменьшительный суффикс -иш (как в Иваниш, Фомиш) в русской ономастике встречается реже, чем -к- или -ш-, поэтому фамилия Логишков выделяется на фоне более частых Логинов, Логинчиков или Логишев.

Вероятнее всего, фамилия закрепилась в северных или центральных регионах России, где была распространена форма Логиш. В писцовых книгах XVI–XVII веков встречаются крестьяне и посадские с именами Логинко, Логиш, но фамилия Логишков в документах фиксируется позже, в XVIII–XIX веках, когда фамилии стали массово оформляться у непривилегированных сословий. Предки носителей фамилии могли быть крестьянами или ремесленниками — фамилия не несёт следов дворянского происхождения или церковного сана.

Любопытно, что в белорусской и украинской традиции аналогичная фамилия писалась бы как Логішкаў или Логішков, с ударением на второй слог. В русском же языке ударение в Логишков, скорее всего, падает на первый слог — по аналогии с Логинов. Если вы встретите вариант Логишкóв, это может указывать на южнорусское или украинское происхождение.

Таким образом, Логишков — редкая фамилия, сохранившая архаичную уменьшительную форму имени, которая почти вышла из употребления уже к концу XIX века.