Фамилия Локотская — это женская форма, а мужская, соответственно, Локотской. Она относится к распространённому типу русских фамилий, образованных от географических названий с помощью суффикса -ск-. Такие фамилии обычно указывают на происхождение человека из определённой местности, часто — из населённого пункта, принадлежавшего дворянскому роду или крупному землевладельцу.

Основа фамилии — «Локот» или «Локотск». В России существует несколько топонимов с таким корнем. Самый известный — село Локоть в Брянской области (бывшая Орловская губерния). Там находилось знаменитое имение князей Тенишевых, и местные жители, вероятно, получали прозвище «локотской» — то есть «из Локтя». Также есть деревни Локотская в Тверской и Смоленской областях, и речка Локоть в Курской области. Человек, переехавший из такого места в другой город, мог получить фамилию по названию своей малой родины.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с прозвищем «Локоть», которое могло относиться к человеку с короткой рукой, локтю как мере длины (например, торговцу сукном) или даже к изгибу реки. Однако суффикс -ск- в фамилиях от прозвищ встречается редко — он характерен именно для «географических» фамилий. Поэтому версия о происхождении от названия села Локоть выглядит убедительнее.

В дореволюционной России фамилии на -ский/-ская часто указывали на дворянское или духовное происхождение, но не обязательно. Крестьяне, переселившиеся в город, тоже могли получить такую фамилию по месту выхода. Если ваши предки носили фамилию Локотская, стоит искать корни в юго-западных губерниях — Брянской, Орловской или Смоленской, где топонимы «Локоть» встречаются чаще всего.