Фамилия Лыбашев — редкая, и её происхождение неочевидно. В основе, скорее всего, лежит не имя, а прозвище или искажённое географическое название. Разберёмся по порядку.

Первый и самый вероятный вариант: корень «лыб-» восходит к диалектному слову «лыба» — так в некоторых русских говорах (особенно северных и сибирских) называли рыбу, обычно мелкую или определённого вида. Это не литературное «рыба», а именно местное, народное произношение. Тогда Лыбаш — человек, чем-то напоминающий рыбу: либо по профессии (рыбак, торговец рыбой), либо по внешности (холодный, скользкий, молчаливый). Суффикс «-аш» в русских прозвищах часто придаёт оттенок просторечия или уменьшительности (ср. «головаш», «бородач»). Фамилия образована по стандартной патронимической модели: Лыбаш → сын Лыбаша → Лыбашев.

Вторая версия, менее очевидная, но имеющая право на существование: фамилия может быть связана с топонимом. На карте России есть несколько мелких речек и урочищ с названием Лыба, Лыбье, Лыбово. В этом случае Лыбашев — потомок выходца из местности с таким названием, а суффикс «-ев» просто указывает на принадлежность («из Лыбашей»). Однако эта версия слабее, так как для топонимических фамилий чаще используется суффикс «-ский» (Лыбовский), а «-ев» типичен для прозвищ.

Третий, экзотический вариант, который иногда всплывает в любительских этимологиях: связь с украинским или белорусским «либа» (любовь). Но это маловероятно — фонетически «лыба» и «либа» расходятся, а суффикс «-аш» нехарактерен для такой основы.

Суффикс «-ев» (а не «-ов») указывает на то, что основа заканчивалась на мягкий согласный или шипящий (Лыбаш → Лыбашев). Это типичная модель для русских фамилий, особенно распространённых в центральных и южных регионах.

Географически фамилия Лыбашев встречается крайне редко. Основные очаги — в Воронежской и Ростовской областях, а также единичные случаи в Сибири (по переписям XX века). Это говорит о том, что фамилия не была широко распространена и, вероятно, возникла в одном или нескольких локальных гнёздах. Сословно предки Лыбашевых могли быть как крестьянами (рыбаками), так и мещанами — точных данных нет, но прозвищный характер фамилии указывает на простое происхождение.

Таким образом, с высокой долей вероятности Лыбашев — это «рыбацкая» фамилия, образованная от прозвища Лыбаш (рыбак или человек с «рыбьей» внешностью). Другие версии менее убедительны, но полностью исключать топонимическую подоплёку нельзя.