Фамилия Людвига — это, скорее всего, не русская по происхождению, а немецкая или польская, и в русском контексте она появилась относительно поздно. В отличие от типичных русских фамилий на -ов, -ин или -ский, окончание -а указывает на то, что перед нами, вероятно, субстантивированная форма женского рода или же исходная основа, заимствованная без добавления славянского суффикса.

Разбираем состав. Основа — Людвиг, древнегерманское имя, состоящее из корней hlud (слава, громкая молва) и wig (битва, война). Полное значение — «славный боец» или «прославленный в бою». Это имя было очень популярно в немецкоязычных землях, особенно среди знати (вспомним композитора Бетховена или философа Витгенштейна, чья фамилия — вариант того же корня). В русской традиции имя Людвиг встречалось редко, чаще у обрусевших немцев или поляков, где оно звучало как Людвик.

Откуда же взялась фамилия Людвига? Есть два рабочих объяснения. Первое: это форма родительного падежа от польской фамилии Людвиг (Ludwig), то есть «из рода Людвига». В польской ономастике фамилии, оканчивающиеся на -а, нередко передавали принадлежность к роду (ср. Коваль — Коваля). Второе, более простое: фамилию могли дать в канцелярии Российской империи, когда записывали немца-колониста или поляка. Окончание -а в русском языке часто «русифицировало» иноязычные фамилии, делая их склоняемыми по женскому роду (как у многих фамилий на -а, -я: Шевченко, Сковорода). Таким образом, предок мог быть просто Людвигом, а в документах его записали как Людвига.

Социальный контекст: носители фамилии Людвига в России — это, как правило, потомки немецких колонистов (приглашённых Екатериной II), ремесленников, аптекарей или военных специалистов, либо поляки, переселившиеся после разделов Речи Посполитой. Встретить эту фамилию можно в Поволжье, на юге Украины, в Прибалтике и в крупных городах, где селились иностранцы. Фамилия редкая, не массовая — она чётко указывает на нерусское, скорее всего, немецкое или польское происхождение рода, и говорит о том, что предок носил имя, означавшее «славный воин».