Фамилия Мадыкина — женская форма фамилии Мадыкин. А сама фамилия Мадыкин происходит от прозвища или неканонического имени Мадыка. Основа здесь — диалектное слово «мадыка», которое в русских говорах (особенно южных и рязанских) означало «мотыга» или «тяпка» — простой сельскохозяйственный инструмент для рыхления почвы. Прозвище Мадыка могли дать человеку, который работал в поле, обрабатывал землю вручную, или же тому, кто отличался особой старательностью и «ковырялся» в работе дотошно. В переносном смысле «мадыкой» иногда называли упрямого, медлительного или скрупулёзного человека.

Модель образования проста и типична для русского Севера, Поволжья и центральных областей: суффикс -ин указывает на принадлежность «чей?» — сын Мадыки, то есть Мадыкин. Фамилии на -ин в этой зоне образовывались от основ на -а, -я, что полностью соответствует нашему случаю.

Региональная привязка у фамилии довольно чёткая. Мадыкины исторически фиксируются в документах Рязанской губернии, особенно в Касимовском и Сапожковском уездах. Встречаются также в Тамбовской и Пензенской губерниях — это зона распространения южнорусского говора, где слово «мадыка» было в ходу. Встречаются единичные упоминания и в северных уездах, но там, скорее всего, фамилия могла возникнуть независимо от другого корня — от местного прозвища, смысл которого уже утрачен.

Важно не путать Мадыкина с фамилиями, образованными от имени Матвей или Матфей (Мадыкин — не вариант этих имён). В ономастических справочниках, например в работе Б. Унбегауна по русским фамилиям, подобные случаи разбираются как прозвищные от орудий труда — это надёжная версия, подкреплённая диалектными данными.

Встречается также написание с одной «к» — Мадыкин, но это скорее описка или следствие упрощения в документах. В обиходе фамилия редкая, не входит в сотни самых распространённых, но сохранилась у носителей на юго-востоке Рязанской области и в соседних регионах. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами-земледельцами, а прозвище дали за характерную манеру работы или внешний вид.