Фамилия Макейчикова — довольно редкая, и её форма сразу бросается в глаза. Перед нами не типичное окончание -ов или -ин, а суффикс -иков, который указывает на конкретный способ образования: от прозвища или имени, оканчивающегося на -ей. Основа здесь — Макей.

Макей — это народная, разговорная форма крестильного имени Матвей. В русской традиции имя Матвей (от древнееврейского «дар Яхве») часто сокращали до Матюха, Матя, а на юге и западе России — до Макарий или Макей. Таким образом, Макейчиков — это буквально «сын Макея» или «потомок того, кого звали Макеем». Суффикс -ик- в таких фамилиях (как Фомичёв от Фомка, или Макейчиков от Макейка) часто добавлял оттенок уменьшительности или указывал на прямую родственную связь: «чей?» — «Макейчиков».

Однако есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «макей» или «макейка» могло быть прозвищем человека, связанного с маком — торговца маком, того, кто сеял мак, или даже просто любителя маковых бубликов. В этом случае фамилия образована не от имени, а от прозвища по роду занятий или пристрастию. Но для фамилии Макейчикова эта версия слабее: прозвищная основа «Макей» в значении «торговец маком» встречается реже, чем имя, и обычно даёт фамилии вроде Маков или Макаров, а не Макейчиков.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и белорусским землям. Формант -иков характерен для фамилий, возникших в среде крестьян и мещан на территории современных Смоленской, Брянской, Витебской областей. В этих краях имя Матвей в форме Макей было особенно распространено, а суффикс -чиков (-иков) активно использовался для обозначения детей и внуков.

Итог простой: скорее всего, ваш предок по мужской линии носил имя Макей (разговорный вариант Матвея), и его потомков стали звать Макейчиковыми. Фамилия не дворянская и не купеческая — она из крестьянской или мещанской среды, где отчество или прозвище отца закреплялось за всей семьёй без изменений.