Фамилия Метковская — женская форма, образованная от мужской фамилии Метковский. Это типичная фамилия польского или западнорусского происхождения, указывающая на дворянское или шляхетское происхождение (суффикс -ский/-цкий был маркером принадлежности к элите, хотя со временем распространился и на крестьян). В основе лежит либо топоним — название населённого пункта вроде Метки, Метково (такие деревни встречаются в Польше, Беларуси и на западе России), либо прозвище или имя Метка.

Что касается корня «Мет-», здесь есть несколько версий. Самая прямая: слово «метка» — знак, отметина. Предок мог быть метким стрелком, либо иметь заметную примету на теле или одежде, либо заниматься мечением скота или товаров. Менее очевидная, но правдоподобная версия — от глагола «метать»: предок мог быть метальщиком копья или сена, либо человеком с быстрыми, «метательными» движениями. В польском языке есть слово «metka» — этикетка, ярлык, что тоже укладывается в ремесленную или торговую профессию.

По географии фамилия Метковская редкая, чаще встречается в Беларуси (особенно в Гродненской и Минской областях) и в восточной Польше. В России она почти не фиксируется, что подтверждает её западнорусские корни. Носительницы фамилии, вероятно, происходят из мелкой шляхты или зажиточных крестьян, переселившихся в XIX веке в центральные губернии.

Интересная деталь: ударение в фамилии может падать как на второй слог (Метко́вская), так и на первый (Ме́тковская). Второй вариант, с ударением на корень, чаще встречается у носителей из белорусских регионов, где сохраняется акцент на основе. Первый — более характерен для полонизированных фамилий.

Если ваши предки носили фамилию Метковская, стоит искать их в метрических книгах костёлов или православных церквей западных губерний Российской империи — скорее всего, они жили на территории современной Беларуси или восточной Польши.