Фамилия Мидаев — редкий случай, когда основа почти наверняка связана с этнонимом или географическим названием, а не с личным именем или профессией. В центре внимания корень «мид», который в русской ономастике чаще всего восходит к слову «мидянин» — житель древней Мидии (историческая область на территории современного Ирана). Однако напрямую называть человека «мидянином» в быту могли редко, поэтому вероятнее, что прозвище Мидай получил выходец из мест, где сохранялась память о мидийском происхождении, или человек с восточной внешностью.

Суффикс -ев указывает на русскую патронимическую модель, но с оговоркой. Фамилии на -ев обычно образуются от основ на мягкий согласный или на -й: Мидай → Мидаев. Если бы основа звучала как Мида, появился бы вариант Мидин. Значит, исходное прозвище или имя звучало именно как Мидай. В тюркских языках, особенно в кумыкском и чеченском, встречается личное имя Мида (Мидай) со значением «похвала», «восхваление» — в этом случае фамилия Мидаев могла возникнуть как русифицированная форма тюркского отчества. Чеченские фамилии с таким окончанием нередки, и Мидаевы действительно встречаются среди чеченцев (тейп Мидай, отсюда Мидаевы).

География фамилии подтверждает обе версии. Основной ареал — Северный Кавказ (Чечня, Ингушетия, Дагестан), где фамилия фиксируется с XIX века. В центральной России Мидаевы единичны, что говорит о недавней миграции. Важная деталь: в дореволюционных переписях фамилия могла записываться как Мидяев — через «я», что прямо отсылает к слову «мидянин». Эта орфографическая ветвь почти исчезла, но оставила след в документах.

С точки зрения словообразования Мидаев стоит в одном ряду с фамилиями типа Персов, Греков, Немцов — все они образованы от этнонимов. Но в отличие от них, Мидаев имеет более узкую географическую привязку и не получил широкого распространения. Если ваш предок был Мидаевым, скорее всего, он происходил с Кавказа, а его прозвище либо указывало на этническую принадлежность (реальную или приписанную), либо было тюркским именем, которое при крещении или при записи в русские документы оформили по стандартной модели.