Фамилия Минай — редкий случай, когда русская по форме фамилия образована напрямую от имени, которое само по себе уже является сокращением. В основе лежит каноническое имя Мина (церковное Минá, от греческого «месяц»). Но в народной русской традиции имя Мина часто звучало как Минай — так же, как Николая переделывали в Николая, а Михаила в Михайлу. Суффикс -ай здесь не фамильный, а именной, разговорный: он прилепился к имени ещё до того, как фамилия возникла.

Фамилия Минай — это «застывшая» форма имени без какого-либо дополнительного суффикса. Такие фамилии (Минай, Кузьмай, Фомай) встречаются в основном в южнорусских и украинских говорах, где имя могли записать в документах прямо в обиходной форме, и она закрепилась за потомками без изменений. Если бы фамилия образовалась стандартным путём, мы бы имели Минаев (от Минай) или Минин (от Мина). А Минай — это случай, когда прозвище или уличное имя стало родовым без переоформления.

Встречается фамилия Минай и в западнославянских языках, особенно в польском, но там она может восходить к другому корню — к глаголу minąć («миновать, проходить») и означать «прохожий» или «тот, кто прошёл мимо». Однако для русской и украинской традиции первая версия — с именем Мина — основная и самая вероятная.

Географически фамилия Минай не образует крупных гнёзд. Она рассеяна: встречается в Черниговской, Сумской, Брянской областях, а также в Краснодарском крае, куда переселенцы принесли её с Украины. Социальный состав носителей — в основном крестьянство и казачество, поскольку в дворянской среде такие «голые» формы имён в качестве фамилий не приживались.

Ошибочно было бы считать фамилию Минай производной от названия города Мина (в Саудовской Аравии) или от греческого слова «мина» (денежная единица). В русском быту эти значения не пересекались с антропонимией. Фамилия — простое и прямое свидетельство того, что предка звали Минай, и это имя перешло к детям без лишних суффиксов, как живая память о человеке, а не о его отчестве.