Фамилия Митаг — редкая и неочевидная для русского уха. На первый взгляд она кажется иноязычной, и это первое, что стоит проверить. Скорее всего, перед нами фамилия немецкого или еврейского (ашкеназского) происхождения, записанная кириллицей.

Если отталкиваться от немецкого языка, то в основе лежит слово «Mittag» — «полдень» или «юг». В немецкой ономастике такие фамилии нередко давали по сторонам света (как Норд, Ост, Вест) или по времени суток. Второй вариант: основа «Tag» — «день». Фамилия могла возникнуть как прозвище человека, связанного с каким-то днём недели или событием, либо как указание на место жительства — например, дом, выходящий окнами на южную сторону. Встречается и вариант написания «Mietag», что может быть искажением от «Mittag» в диалектах.

В еврейской среде фамилия Митаг (или Миттаг) могла быть искусственной, присвоенной в ходе обязательной паспортизации в Австрийской империи или Пруссии в конце XVIII — начале XIX века. Тогда евреям часто давали фамилии по названиям месяцев, дней недели, природных явлений или отвлечённых понятий. «Миттаг» (полдень) вполне вписывается в этот ряд наряду с Морген (утро) или Абенд (вечер).

В русском языке фамилия Митаг не имеет славянской словообразовательной модели: в ней нет типичных суффиксов -ов, -ин, -ский. Это прямое заимствование, которое не склоняется по падежам как типичная русская фамилия. Встречается она в основном у потомков немецких колонистов, переселившихся в Российскую империю в XVIII–XIX веках, а также у еврейских семей из регионов бывшей черты оседлости.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: искажение при записи фамилии Митаков или Митагин, где корень «мит» мог быть связан с уменьшительной формой имени Дмитрий (Митя). Однако в этом случае фамилия скорее всего звучала бы как Митагов или Митагин, а не Митаг. Поэтому основная и самая правдоподобная гипотеза — западноевропейское происхождение.