Фамилия Монтякова — женская форма, в основе которой лежит мужская фамилия Монтяков. Словообразовательная модель проста: суффикс -ов указывает на принадлежность (чей? — Монтяков, то есть сын или потомок Монтяка). Значит, ключ к происхождению — прозвище или неканоническое имя Монтяк.

С корнем здесь не всё однозначно, и это как раз тот случай, когда стоит рассмотреть две версии, не навязывая единственную. Первая, и наиболее вероятная, связывает Монтяка с диалектным глаголом «монтякать» или «монтячить». В некоторых южнорусских и украинских говорах это означало «болтать, пустословить, говорить вздор». Соответственно, Монтяком могли прозвать говорливого человека, балагура или, наоборот, того, кто несёт чепуху. Такие прозвища по речевой манере — распространённый источник русских фамилий (ср. Болтунов, Говоров, Пустомелев). Вторая версия — от тюркского имени или прозвища Монтяк, где корень «мон» может означать «беда, несчастье» или «луна» (в разных тюркских языках). В пользу этой гипотезы говорит то, что фамилия встречается в Поволжье и на Урале, где исторически было сильное тюркское влияние. Однако прямых письменных подтверждений бытования такого имени в русской среде нет, поэтому первая версия — о прозвище по характеру — выглядит правдоподобнее.

Географически фамилия Монтяков (и Монтякова) редкая. Основные очаги — Удмуртия, Пермский край и Кировская область. Встречается также в Татарстане, что косвенно поддерживает версию о тюркском следе, но не исключает и миграции русского населения с юга. В дореволюционных источниках фамилия не фиксируется среди дворянства или купечества — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, оформившаяся в XIX веке при переписях.

Таким образом, предки современной Монтяковой с большой долей вероятности получили прозвище за привычку много и красноречиво (или, наоборот, бестолково) говорить. Впрочем, не исключено, что за фамилией стоит и древнее тюркское имя, смысл которого со временем стёрся.