Фамилия Мостобаева звучит редко и сразу привлекает внимание своей конструкцией. В ней отчетливо слышится основа «мост» и вторая часть, похожая на «бай» или «баев». Чтобы понять её значение, нужно разобрать словообразовательную модель, а не искать прямой смысл вроде «мост и байка».

Скорее всего, фамилия образована от прозвища или неканонического имени Мостобай. В тюркских языках, особенно в башкирском, татарском и казахском, «бай» означает «богач, хозяин, господин». Первая часть «мосто» может восходить к русскому слову «мост» (строитель мостов, живущий у моста) или к тюркскому корню, например, «мос» — «крепкий, твердый». Тогда Мостобай — это «крепкий хозяин» или «богатырь-богач». В пользу тюркского происхождения говорит и суффикс -ев, который в русских фамилиях часто присоединяли к восточным основам, адаптируя их под славянскую модель (сравните: Батырев, Аксаков). Фамилия Мостобаева — женская форма, мужская — Мостобаев.

Другая, менее вероятная версия — происхождение от прозвища Мостобай, данного человеку, который брал плату за проход по мосту (сборщик мостовой пошлины). Однако в русских говорах слово «мост» редко соединялось с «баем» напрямую, а тюркское влияние в Поволжье и Приуралье делает первую гипотезу более правдоподобной.

Географически фамилия встречается в основном среди башкир и татар, а также у русских, долго живших в Башкортостане или Оренбургской области. Встречаются варианты написания с одной «с» — Мостобаев, но это редкая форма, а не ошибка. Если ваши предки носили эту фамилию, они могли быть зажиточными крестьянами или мелкими торговцами, а само прозвище Мостобай, скорее всего, подчеркивало уважение к хозяину дома, его прочности и достатку.