Фамилия Мягчихина — женская форма фамилии Мягчихин, и её разбор стоит начать с необычного суффикса -ихин. В русской ономастике суффикс -их- (а затем и -ин) встречается реже, чем привычные -ов или -ин, и указывает на принадлежность к роду через прозвище главы семьи. Мягчихин буквально значит «сын Мягчихи» или «из рода Мягчихи». А Мягчиха — это прозвище, образованное от прилагательного «мягкий» с помощью суффикса -их(а), который в говорах часто давал именования женщинам по характерному признаку или роду занятий мужа (ср. Кузнечиха, Повариха). Но здесь основа не профессия, а качество.

Само слово «мягкий» в древнерусском языке имело широкий спектр значений: не только «нежный, податливый», но и «смирный, добрый, уступчивый». Прозвище Мягчиха могли дать женщине с мягким характером, либо мужчине — в ироничной форме, если он, наоборот, проявлял излишнюю уступчивость. В северных и центральных русских говорах (Вологодчина, Архангельская область, Поволжье) такие формы на -иха были особенно распространены: там прозвище жены по мужу или по личному качеству легко переходило в фамилию. Мягчихин — яркий пример этой модели, характерной для крестьянской среды, где фамилии часто закрепляли уличные прозвища.

Есть и вторая, менее вероятная версия: основа могла быть связана с глаголом «мягчить» (размягчать, делать мягким). В старину так могли прозвать кожевника или скорняка, который обрабатывал кожи. Но тогда логичнее было бы прозвище Мягчила или Мягчик, а суффикс -их(а) указывает скорее на женский род или на прозвищную форму. Поэтому версия с личным качеством выглядит правдоподобнее.

Фамилия Мягчихин не относится к дворянским или книжным — она бытовала в крестьянской и мещанской среде, особенно на севере и северо-востоке Европейской России. Встречается она и сегодня, но довольно редка: по данным современных справочников, носителей Мягчихиных насчитывается не более нескольких сотен по всей стране. Географически чаще всего фамилия фиксируется в Кировской области, Удмуртии и Пермском крае — регионах, где активно использовалась диалектная модель на -ихин.

Двойной суффикс (-их- + -ин) — это уже позднее оформление родового имени. Сначала в семье бытовало прозвище Мягчиха (так могли звать, например, жену человека по прозвищу Мягкий или самого мягкотелого соседа). Затем, когда в XIX веке крестьянам массово давали фамилии, детей записали как Мягчихины — то есть «те, кто из дома Мягчихи». Так фамилия сохранила не только корень, но и живую разговорную форму, которую в других регионах заменили бы на Мягков или Мягкин.