Фамилия Мыхаева — женская форма, мужская — Мыхаев. В основе лежит имя или прозвище Мыхай, которое представляет собой народно-разговорный вариант канонического имени Михаил. Такая замена «и» на «ы» в корне — характерная черта южнорусских и украинских говоров, где звук [и] после твёрдых согласных переходил в [ы]. То есть Мыхай — это то же самое, что Михай, только с местным произношением.

Модель образования проста: к основе Мыхай добавили притяжательный суффикс -ев, указывающий на принадлежность: «чей?» — Мыхаев, то есть сын или потомок Мыхая. Фамилии на -ев, а не на -ов, возникали, когда основа оканчивалась на мягкий согласный или йот. Здесь йот на конце (Мыха-й) дал именно -ев, а не -ов.

Географически фамилия редкая. Её следы ведут в регионы, где было распространено «ыканье» — Курская, Воронежская, Ростовская области, а также в украинские земли. В переписях XVII–XVIII веков можно встретить крестьян и казаков с именем Мыхай, но как фамилия Мыхаев закрепилась, скорее всего, не раньше XIX века, когда у основной массы населения появились наследственные фамилии.

Других версий, кроме связи с Михаилом, практически нет. Иноязычные корни маловероятны: фамилия звучит по-русски и укладывается в типичную для восточных славян словообразовательную модель. Если бы основой было тюркское или финно-угорское слово, суффикс, скорее всего, был бы другим или фамилия выглядела бы иначе. Так что поиск предков стоит начинать с православных имён и южнорусского говора.