Фамилия Нечаевская — одна из тех, что сразу выдают своё происхождение не через отчество, а через топоним. Её основа — слово «нечай», которое в древнерусском языке было не только нарицательным («нечаянный», «нежданный»), но и личным некалендарным именем. Нечай — типичное для дохристианской Руси имя-оберег: так называли ребёнка, чтобы отвести от него злые силы или чтобы подчеркнуть, что он появился на свет неожиданно. Суффикс -ск- указывает, что фамилия образована не напрямую от имени, а от географического названия — скорее всего, от села или деревни Нечаево (или Нечаевка), которых в России множество, особенно в центральных и южных губерниях. Окончание -ая — типично для фамилий, возникших как притяжательные прилагательные в женском роде, но закрепившихся за родом в целом (сравните: Толстая, Басова, Нечаевская). То есть носитель фамилии — потомок человека, который был родом из Нечаева, или же владелец того села.

Интересно, что фамилия Нечаевская встречается заметно реже, чем Нечаев. Это объяснимо: модель на -ский/-ская в крестьянской среде стала массово распространяться позже, в XIX веке, и часто указывала не на отца, а на место жительства или принадлежность помещику. Поэтому Нечаевские — это, скорее всего, выходцы из конкретного поселения, а не прямые потомки человека по имени Нечай. В дворянской среде такие фамилии тоже бытовали, но там они обычно оформлялись через -ский и указывали на родовое поместье.

В говорах слово «нечай» могло иметь и переносное значение — так называли нерасторопного, медлительного человека, а иногда и того, кто делает всё невзначай. Но основная версия всё же связана с именем-оберегом: слишком уж распространён был Нечай в документах XV–XVII веков. Встречаются и варианты написания — Нечаевская, Нечаевская (с ударением на второй или третий слог), но словари фиксируют норму на «е» после «ч». Если ваши предки носили эту фамилию, ищите корни в деревнях с названием Нечаево — такие есть в Тульской, Рязанской, Орловской, Воронежской областях, а также на Украине.