Фамилия Никольский — одна из тех, что образованы от имени собственного, но с характерным суффиксом -ский. В русской ономастике этот суффикс чаще всего указывает на принадлежность к местности или к церковному приходу. В основе фамилии лежит имя Николай, точнее, его церковнославянская форма Никола. Никольский — буквально «относящийся к Николе», то есть к святому Николаю Чудотворцу.

Самый распространённый путь появления таких фамилий — через названия сёл и церквей. Если предок жил в селе Никольское или в приходе Никольской церкви, его дети или он сам могли получить прозвание Никольский. В России десятки Никольских сёл и сотни Никольских храмов, поэтому фамилия встречается в разных регионах, но особенно часто — в центральной России и Поволжье, где церкви в честь Николы были повсеместны.

Интересно, что фамилия Никольский, в отличие от более простых Никитин или Николаев, принадлежала чаще не крестьянам, а духовенству. Священники, принимая фамилию при окончании семинарии, нередко брали её по названию своего храма или по имени святого, которому храм посвящён. Поэтому Никольский — типичная семинарская фамилия, хотя могла она закрепиться и за дворянами, владевшими селом Никольским.

Написание «Никольксий» — очевидная опечатка, искажение от «Никольский». В дореволюционных документах встречались варианты «Николский» (без мягкого знака), но современная норма устоялась через «ь». Если вы ищете именно такую фамилию, стоит проверить исходные записи: описка в одной букве могла возникнуть при переписи или в паспортном столе.

Коротко: ваши предки, скорее всего, были либо сельскими жителями из Никольского, либо людьми, связанными с церковью. Фамилия не редкая, но её география и сословная принадлежность могут многое рассказать, если заглянуть в метрические книги конкретного уезда.