Фамилия Опешко звучит как типичная украинская или белорусская, и это верное направление. Ее выдает суффикс -ко, который в восточнославянских фамилиях (особенно украинских) играет роль уменьшительности или указания на происхождение от отца (патроним). В данном случае -ко присоединено к основе Опеш-, что сразу отсылает к личному имени или прозвищу.

Корень фамилии — это, скорее всего, разговорная форма имени Ипполит. В народной среде это греческое имя (означающее «распрягающий коней») упростили до Ополет, Полит, а затем и до Опеш. Суффикс -к- в имени Опешко — это ласкательный или обиходный вариант: так в семье могли звать мальчика Ипполита. Таким образом, фамилия Опешко — это патроним, отвечающий на вопрос «чей?»: сын Опешка, то есть потомок человека, которого в быту называли Опешко.

Есть и вторая, менее вероятная версия, связанная с географическим прозвищем. В некоторых говорах «опешек» или «опешок» могли называть жителя села или местности с похожим названием. Однако отсутствие крупных топонимов «Опеш» в исторических документах делает эту гипотезу слабой. Куда правдоподобнее, что перед нами — производное от имени, которое в XIX веке было распространено среди крестьян и мещан на Правобережной Украине и в южных районах Беларуси.

Фамилия не относится к дворянским или старинным аристократическим родам — она из того пласта массовых украинских фамилий, которые оформлялись в XVII–XIX веках, когда крестьяне и казаки получали фамилии по имени отца или деда. Суффикс -ко здесь не просто уменьшительный, а указывает на принадлежность: Опешко — буквально «маленький Опеш» или «Опешев сын». Аналогично образованы фамилии Тишко (от Тихон), Ивашко (от Иван), Данилко. Так что человек с фамилией Опешко может с высокой долей уверенности считать своим предком некоего Ипполита, которого в родном селе звали просто Опешком.