Фамилия Остаук — редкий пример, где географическая привязка важнее разбора корня. Если вы её носитель, скорее всего, ваши предки родом с запада Украины или из Беларуси. Фамилия образована по польско-украинской модели с суффиксом -ук (или -юк), который в этих краях означает «сын» или «потомок». То есть Остаук — буквально «сын Остапа» или «потомок Остапа».

Имя Остап — народная форма канонического имени Евстафий (греч. «устойчивый», «крепко стоящий»). В украинском и белорусском языках оно превратилось в Остап, Осташ, Остах. Поэтому фамилии Остапенко, Остапук, Осташевский и Остаук — однокоренные родственники, разошедшиеся по разным суффиксам.

Интересная деталь: фамилия Остаук могла закрепиться не только за сыном, но и за слугой или работником у человека по имени Остап. В среде казачества или крестьянства прозвище «Остаук» иногда давали и тому, кто был «остатком» — последним ребёнком в семье или поздним наследником. Но эта версия менее вероятна: окончание -ук почти всегда указывает на патроним (отчество), а не на качество.

Географически фамилия встречается в основном в Тернопольской, Львовской и Брестской областях. В России она редкая и почти всегда означает миграцию с запада. Сословного барьера у Остауков не было — её могли носить как крестьяне, так и мещане, а изредка и обедневшая шляхта, которая перешла на украинскую модель фамилии.

Если коротко: ваша фамилия — это украино-белорусский «сын Остапа». Она звучит как отчество, застывшее в прозвище, и несёт в себе память о предке с устойчивым характером.