Фамилия Пагаева образована от личного прозвища Пагай. Чтобы понять её смысл, нужно разобрать это прозвище на две части. Основа «гай» — слово с богатой диалектной историей. В южных говорах оно означало «крик, гам, шум, рев», а в тамбовских — «дуброва, роща, чернолесье, небольшой лиственный лес в низине, у лугов». Приставка «па-» здесь не что иное, как диалектный вариант «по-», который широко встречается в архангельских говорах и несет значение «под».

Складывая части, получаем: Пагай — это «тот, кто живет под (или подле) дубравы». Такое прозвище могли дать человеку, чей дом стоял у самого леса или в низине, рядом с рощей. Версия с «криком, шумом» выглядит менее убедительной: для прозвища, закрепившегося за родом, пространственная привязка к месту жительства встречается чаще и объясняет форму слова естественнее.

Сама фамилия построена по простой и распространенной модели: к прозвищу Пагай добавили типичный русский суффикс притяжательности -ев (после мягкого согласного), а затем окончание, указывающее на женский род. Изначально Пагаева — это «жена Пагая» или «дочь Пагая», а со временем форма закрепилась за всем потомством.

Интересная деталь: подобные фамилии с диалектной приставкой «па-» встречаются реже, чем их аналоги с привычным «по-». Сравните с более известными Потапов или Полежаев — там приставка сохранила литературную форму. А вот Пагаев, Пагин или Пагудин — примеры того, как местный говор, архангельский или соседний с ним, отпечатался в родовом имени. Так что фамилия Пагаева — это не просто указание на предка, а маленькая метка, говорящая о том, откуда родом её первые носители и в какой природной среде они жили.