Фамилия Пагаев образована от личного прозаища Пагай, и чтобы понять её смысл, нужно разобрать это слово по косточкам. В основе лежит нарицательное «гай», у которого в разных говорах было два значения: в южных — «крик, гам, шум, рев», а в тамбовских — «дуброва, роща, чернолесье; небольшой лиственный, нехвойный лес, особенно в низменных местах, в лугах».

Ключ к разгадке — диалектная приставка ПА-, которая образовалась из ПО- и широко встречается в архангельских говорах со значением «под». То есть Пагай — это не просто человек, связанный с лесом или шумом, а буквально «тот, кто живет под (подле) дубравы». Такая модель словообразования встречается нечасто, и именно она делает фамилию отличимой от массы других, образованных от простых прозвищ.

Скорее всего, прозвище Пагай закрепилось за человеком, чей дом стоял на опушке, у самой кромки леса, в низине, где растут лиственные деревья. В тамбовских говорах слово «гай» как раз и означало такой лес — не хвойный, а именно лиственный, часто в поймах рек. Поэтому версия о «жителе подле дубравы» выглядит правдоподобнее, чем связь с шумом и гамом: слишком уж конкретна географическая привязка.

Потомок человека с таким прозвищем со временем получил фамилию Пагаев — по обычной для русских фамилий модели «прозвище + суффикс -ев». Суффикс указывает на принадлежность: Пагаев значит «сын Пагая», «из рода Пагая». Фамилия сохранила редкую диалектную приставку, которая в литературном языке почти не встречается, и это делает её своеобразным маркером северного или южнорусского происхождения предков.