Фамилия Палковская — женская форма фамилии Палковский, и её происхождение стоит искать в восточнославянской, скорее всего польской или белорусской, ономастике. Суффикс -ский/-цкий указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но в XIX веке такие фамилии активно принимали и крестьяне, и мещане, особенно на землях бывшей Речи Посполитой. В России фамилии на -ский часто давали в духовных семинариях, но в случае с Палковскими это маловероятно: основа слишком «приземлённая» для искусственного семинарского прозвища.

Основа «Палк-» восходит к слову «палка» — в древнерусском и польском языках это было не только орудие для ходьбы или драки, но и прозвище для человека с жёстким, прямым характером, либо для того, кто постоянно носил с собой палку (например, пастух, сторож или нищий с посохом). В польском языке «pałka» — это ещё и дубина, и часть военного снаряжения, поэтому Палковским могли назвать служивого человека, который ходил с палкой-оружием. Встречается и версия, что фамилия связана с топонимом Палки (такие деревни есть в Польше, Беларуси и на западе России) — тогда Палковский означает «тот, кто из Палков».

Менее распространённая, но правдоподобная гипотеза — происхождение от личного имени Павел через форму Палка (уменьшительное от Павел, как Павлуша → Павлка → Палка). В этом случае фамилия Палковский — типичная отчество-патроним с суффиксом -ов- и дворянским окончанием -ский, то есть «сын Палки», а Палка — домашнее имя Павла. Такие переосмысления нередки: фамилия Павловский встречается куда чаще, но Палковский — её фонетический вариант, закрепившийся в определённых говорах.

Географически фамилия Палковская сегодня редка, но встречается в основном в западных областях России, в Беларуси и на востоке Польши. В дореволюционных метрических книгах носители фамилии числились чаще среди крестьян и однодворцев, чем среди дворян, что говорит о бытовом, а не родовитом происхождении. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили на границе культур и говорили на смеси польского, белорусского и русского — именно там такие фамилии и рождались.