Фамилия Панасовсая — редкий случай, когда написание почти наверняка содержит опечатку или диалектную особенность. В русской ономастике не зафиксирована фамилия с таким окончанием. Скорее всего, перед нами искажённая форма фамилии Панасовская или Панасовская (с одной «с»). Ошибка могла возникнуть при записи в паспортном столе, в дореволюционных метрических книгах или при смене написания в XX веке, когда окончание «-ская» в просторечии могли сократить или перепутать с притяжательным суффиксом «-ов» + «сая» (что бессмысленно с точки зрения словообразования).

Если же исходить из того, что основа всё же «Панас-», то корень восходит к разговорной форме канонического имени Афанасий — Панас. В украинском, белорусском и южнорусском говорах имя Афанасий (от греческого «афанатос» — бессмертный) сокращалось до Панас, Опанас, Панаска. Фамилии на -овский / -евский / -ский традиционно указывали на принадлежность к местности или к роду пана (господина), но в данном случае это, скорее всего, прозвищная фамилия: Панас — основа, а суффикс -овск- показывает, что носитель — потомок того самого Панаса. Получается, что Панасовский — это «сын Панаса» или «принадлежащий роду Панаса».

Форма Панасовсая (с двумя «с» и окончанием «-ая») грамматически женская. В русском языке фамилии на -ская склоняются как прилагательные (Панасовской, Панасовскую). Если вы встретили именно такое написание, стоит проверить документы: возможно, правильная форма — Панасовская, а «сая» — ошибка переписчика. В любом случае, географически фамилия наиболее вероятна для запада России, Украины и Беларуси, где имя Панас было широко распространено среди крестьян и казаков. Никакого особого дворянского происхождения она не несёт — это типичная «отчество в форме прилагательного», каких тысячи.