Фамилия Панчишкина — женская форма, а её мужской вариант Панчишкин. Редкая, нестандартная для русского уха модель: суффикс -ин здесь наращивается не на корень, а на основу, оканчивающуюся на -ишк-. Эта часть — уменьшительно-уничижительный суффикс, который в древнерусском языке придавал слову оттенок пренебрежения или просто указывал на малость, невзрослость объекта. Значит, исходное прозвище звучало как Панчишка.

Корень Панч- — это, скорее всего, народная или диалектная форма от имени Пантелей (Пантелеймон) или Панкрат (Панкратий). В говорах такие имена часто «съёживали»: Пантя, Панча, Паня. Панчишка — это уже третий шаг: от Панчи к Панчишке. В ономастике это называют «патронимом от прозвищной формы имени». Словарь Б. Унбегауна прямо указывает, что фамилии на -ишкин (Панчишкин, Ванишкин, Мишкин) возникали от уменьшительных прозвищ, которые давали детям или молодым людям в семье. То есть предок носителя фамилии, скорее всего, был младшим в роду или просто носил домашнее имя Панчишка.

Географически фамилия тяготеет к северо-западным и центральным областям России — там, где были распространены формы на -ишка и где имя Пантелеймон было в ходу у крестьян (в отличие от дворянских кругов, где предпочитали полные формы). В переписных книгах XVII–XVIII веков такие прозвища встречаются в новгородских и тверских погостах.

Отдельная деталь: написание через -и-, а не через -ы- (Панчишкин, а не Панчышкин) — верный признак того, что фамилия закрепилась в письменной форме именно в эпоху после реформы орфографии, когда буква ы после шипящих уступила место и. Если бы фамилия была старше, могла бы писаться иначе, но в данном случае мы видим стандартный книжный вариант.

Сословно — почти наверняка крестьянская или мещанская. Фамилии на -ишкин редко встречаются у дворян: те предпочитали более «солидные» суффиксы -ов/-ев или -ский. Панчишкин — это прозвище, которое «прилипло» к роду в эпоху, когда фамилии ещё не были обязательными, и закрепилось в документах уже в XIX веке.