Фамилия Печинская принадлежит к распространённому типу русских фамилий, образованных от географических названий с помощью суффикса -ск-. Этот суффикс указывает на связь с местностью: так называли человека, который откуда-то родом или владел землёй. В основе фамилии лежит название населённого пункта — скорее всего, Печино, Печинка или Печин. Таких сёл и деревень в России немало, особенно в центральных областях и на Урале. Например, деревня Печино есть в Вологодской и Костромской областях, а село Печинки — в Нижегородской. Жительница такого места получала прозвище «Печинская», которое со временем закрепилось как фамилия.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от прозвища, связанного с ремеслом. В старину «печиной» могли называть печника, мастера по кладке печей, или человека, жившего у печи. В таком случае фамилию образовали бы через суффикс -ин (Печин), а форма на -ская указывает скорее на дворянский или польский след: в шляхетской среде фамилии с этим суффиксом были особенно часты. Однако для простого крестьянина или ремесленника такой вариант маловероятен — в крестьянской среде до XIX века преобладали фамилии на -ов и -ин.

Обратите внимание на окончание: -ая, а не -ий. Это чёткий признак женской формы фамилии. Мужской вариант — Печинский. Если вы ищете историю именно женской фамилии, то она образована от мужской по правилам русского языка: дочь или жена Печинского становилась Печинской. В документах до революции такие формы часто писались раздельно по сословию: у дворян — единая фамилия для всех членов семьи, у крестьян и мещан — с разными окончаниями в зависимости от пола.

С точки зрения словообразования, корень «печ-» восходит к общеславянскому «печь» — и топоним, и прозвище так или иначе связаны с огнём, теплом, домашним очагом. Фамилия не редкая, но и не массовая: по данным современных справочников, чаще всего встречается в центральных регионах России и в Беларуси. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит проверить метрические книги по местам с названием Печино или Печинка — скорее всего, там и лежит ключ к истории рода.